p-adic numbers 0:: 소개

 이번에는 p-adic numbers에 대해서 설명하겠습니다!

 먼저 우리는 어떤 자연수를 n진법으로 적을 수 있을 겁니다. e.g. 7진법의 경우에는 $$ 1406130134$$이렇게나 아니면 3진법의 경우에는 $$ 12012102210$$ 이렇게요. p-adic number은 여기에서 아이디어가 오는데 p-adic number은 다음과 같은 꼴을 가질 수 있습니다! $$ 351060392010536\cdots$$ $$ 134014014302421304\cdots$$ 이게 무슨 말이냐면 p-adic number은 보통 우리가 잘 알고 있는 p진법으로 나타낸 숫자에서 끝을「무한히 늘린」수라고 생각하면 됩니다.

 p-adic number은 \(p\)가 소수인 자연수이기만 하면 잘 정의됩니다. 이렇게 해서 우리는 어떤 자연수를 p진법 전개시키고 그것을 $$ 4, 43, 434, 4343, 43434, 434343, 4343434, 43434343,\cdots$$ $$ 6, 65, 651, 6514, 65146, 651465, 6514651, 65146514, \cdots$$ $$ 3,34,346,3461,34615,346153,3461532,34614322,\cdots$$이렇게 계속 늘린 수들의 집합이라고 합시다! 그러면 p-adic number들은 기존의 유한 자리의 수들과「무한 자리의 수들」의 집합이라고 볼 수 있고 p-adic numbers가 uncountable이라는 것도 여기에서 쉽게 알 수 있습니다. 그리고 우리는 이렇게 자릿수를 계속 늘렸기에 \(0\le a_i<p\)라고 했을 때 p-adic number들은 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $$ \sum^{\infty}_{i=k}a_i p^i$$ 여기에서 \(k\)는 정수이며 꼭 양수가 아니어도 됩니다. 물론 보통 사람이라면「응? 수렴하지 않은 텐데?」라고 생각할 수 있지만 p-adic에서는 이건 엄연히 존재하는 수들 중의 하나입니다! 이는 보통 실수 체계와는 달리 수렴성이 다르게 정의되기 때문인데 이는 나중에 알아보도록 하고 지금은 이것이 수렴한다는 사실을 인정하기로 합시다.

 우리는 이제 5진법에서 \(\frac{1}{3}\)을 5진법 전개하기로 하면 $$ \begin{align}&\frac{1}{3}=\frac{5}{3\times 5}=\frac{1}{5}+\frac{2}{3\times 5}=\frac{1}{5}+\frac{10}{3\times 5^2} \\ &=\frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{1}{3\times 5^2}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{5}{3\times 5^3}\\ &=\frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{2}{3\times 5^3}=\cdots \end{align}$$이렇게 반복되므로 간단한 induction으로 $$ \frac{1}{3}=0.131313131313131313\cdots_{(5)}$$임을 알 수 있습니다. 이제 우리는 \(\frac{1}{3}\)을 5-adic number처럼 표기해보도록 하는데 우리는 먼저 다음을 봅시다.

 Proposition. \(r\)이 \(|r|<1\)인 실수일 때 $$ \sum^{\infty}_{n=0}r^n=\frac{1}{1-r}$$이다.

 갑자기 이 정리를 등장시킨 이유는 바로「\(|r|<1\)이라는 조건을 없애고 이걸 쓰기 위함」입니다! 왠 이상한 소리처럼 들릴 수도 있겠지만 우리는 위에서 수렴성 조건을 무시한 적도 있기에 이것도 그냥 인정하고 씁시다.

 이러면 우리는 p가 소수라고 할 때 $$ 3\sum^{\infty}_{n=1}p^{2n-1}=p\sum^{\infty}_{n=0}3\cdot p^{2n}=\frac{3p}{1-p^2}$$이 되고 $$ \sum^{\infty}_{n=0}p^{2n}=\frac{1}{1-p^2}$$이 되므로 \(p=5\)를 대입하고 각각 더하면 $$ \cdots 31313131313131313131=-\frac{2}{3}$$이 되고 그러므로 $$ \frac{1}{3}=-\frac{2}{3}+1=\cdots 31313131313131313132$$가 됩니다! 그리고 우리는 좀 더 확인해보면 $$ -\frac{1}{3}=\cdots 131313131313131313$$임을 알 수 있는데 이건 바로 우리가 구했던 $$ \frac{1}{3}=0.131313131313131313131313\cdots_{(5)}$$하고 \(0.\)만 떼면 완전히 똑같습니다! i.e. p-adic numbers는 p진법 전개하고 상관있는 수입니다.

 우리는 이제 다음을 정의합시다.

 Definition 0.1. p-adic number을 \(\sum^{\infty}_{i=k}a_i p^i\)라고 쓰기로 하자. 그러면 \(i<0\)일 때 \(a_i=0\)이라면 이 수를 p-adic integer이라고 하자.

 이건 간단합니다. 우리가 뒤에 소숫점자리가 없으면 계산이나 여러모로 편한 것처러 ㅁ이것도 뒤의 소숫점이 없으면 여러모로 많이 편합니다.

 이제 우리는 모든 p-adic number들의 집합을 \(\Bbb{Q}_p\), 모든 p-adic integer들의 집합을 \(\Bbb{Z}_p\)라고 합시다. 이제 우리는 다음부터 이것들에 대해서 다룰 것입니다!

 (참고로 여기에서 p-adic numbers에 대해서 제대로 정의를 안했는데 제대로 된 정의는 둘 중 하나로 정의할 수 있습니다. 첫 번째는 해석학적으로 Ostrowski's theorem을 이용해서 completion한 것들 중에서 실수 집합을 제외한 나머지로 설정하는 방법이나 (또는 그냥 norm 하나 저렇게 놓고 completion을 시켜도 상관 없습니다.]아니면 \(\Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}\)을 생각해서 이것의 inverse limit를 \(\Bbb{Z}_p\)라고 정의하는 방법도 있습니다. \(\Bbb{Q}_p\)는 \(\Bbb{Z}_p\)에서 쉽게 정의할 수 있습니다. 보통은 첫번째로 많이 하는 것 같지만 두 번째로 하는 방법도 있습니다. (Serre의 A Course of Arithmetic이 이렇게 정의하더군요.)물론 이 둘은 동치임을 쉽게 알 수 있습니다.)

 (아마도 p-adic number 시리즈는 먼저 가법게 간 다음에 잘 나가면 local class field theory도 설명할 수 있을 것 같네요.)