본문 바로가기

2012/10

p-adic numbers 2:: p-adic number의 계산 이제 우리는 Theorem 1.4가지고 p-adic number가 진짜로「무한 자리수」라는 개념을 가지고 있음을 확인했습니다. 그런데 이거는 \(|a|_p\le 1\)일 때 한정인데 우리는 이것을 쉽게 늘릴 수 있습니다! 바로 \(|a|_p>1\)이어도 \(\left|\frac{a}{p^k}\right|\le 1\)가 되도록 \(k\)를 잡아주면 됩니다. 그러면 모든 \(\Bbb{Q}_p\)의 원소는 \(0\le a_i 더보기
p-adic numbers 1:: p-adic number의 정의와 p-adic number의 진법 전개 이제 우리는 다음을 정의하도록 합시다. Definition 1.1. \(x\)를 0이 아닌 유리수라고 하자. 그러면 \(p\)가 소수일 때 \(a,b\)가 p로 나누어지지 않는 정수이고 \(e\)가 정수일 때 \(x=p^e\frac{b}{a}\)꼴로 표현할 수 있으면 $$ |x|_p:=p^{-e}$$하고 하자. 그리고 $$ |0|_p:=0$$이라고 하자. 참고로 우리는 여기에서 한 가지 중요한 사실을 알 수 있습니다. 바로 a와 b가 유리수일 때 $$ |a+b|_p\le \max\{|a|_p,|b|_p\}$$라는 사실 말이예요. 이 사실은 매우 중요한데 이 성질 하나 때문에 실수 집합이랑 p-adic numbers랑 성질이 확 틀어집니다! 머저 소개에서 설명했던 수렴성도 바로 이거 하나때문에 생겨나는 거.. 더보기
p-adic numbers 0:: 소개 이번에는 p-adic numbers에 대해서 설명하겠습니다! 먼저 우리는 어떤 자연수를 n진법으로 적을 수 있을 겁니다. e.g. 7진법의 경우에는 $$ 1406130134$$이렇게나 아니면 3진법의 경우에는 $$ 12012102210$$ 이렇게요. p-adic number은 여기에서 아이디어가 오는데 p-adic number은 다음과 같은 꼴을 가질 수 있습니다! $$ 351060392010536\cdots$$ $$ 134014014302421304\cdots$$ 이게 무슨 말이냐면 p-adic number은 보통 우리가 잘 알고 있는 p진법으로 나타낸 숫자에서 끝을「무한히 늘린」수라고 생각하면 됩니다. p-adic number은 \(p\)가 소수인 자연수이기만 하면 잘 정의됩니다. 이렇게 해서 우리는.. 더보기