Jordan decomposition

 Theorem 1. (Jordan decomposition) 우리는 \(V\)가 perfect field \(K\) 위의 vector space라고 하고 \(f:V\to V\)가 \(V\)의 linear transformation이라고 하자. 그러면 유일한 linear map $$f_s:V\to V\;\;\;f_n:V\to V$$가 있어서 다음이 만족된다.

 (i) \(f=f_s+f_n\)

 (ii) \(f_s\circ f_n=f_n\circ f_s\)

 (iii) \(f_s\)는 semisimple이고 \(f_n\)은 nilpotent다.

 (iv) \(f_s\)와 \(f_n\)은 모두 \(f\)에서 다항식이 될 수 있다.

 Proof of Theorem 1) 우리는 증명을 여러 단계로 나눠서 합시다. 우리는 \(f\)의 eigenvalue를 생각해서 이것의 eigenvalue들을 모은 집합을 \(I\)라고 하고 \(\lambda\)가 \(f\)가 eigenvalue라고 합시다. 

 우리는 이제 모든 \(f\)의 eigenvalue들이 \(K\)에 있다고 해봅시다. 그러면 $$ V^{\lambda}=\{x\in V:(f-\lambda)^mx=0\text{  for some}\,x\}$$라고 하면 이것은 \(V\)의 subspace가 됩니다! 그리고 다음이 만족되게 되죠. $$ V=\bigoplus_{\lambda\in I}V^{\lambda}$$

 이 사실은 매우 중요한데 바로 eigenvalue로 act를 만들 수 있기 때문입니다! \(f_s\)를 \(x\in V^{\lambda}\)일 때 $$ f_s(x)=\lambda x$$라고 하면 당연히 이는 semisimple이며 덤으로 \(f_n:=f-f_s\)는 모든 eigenvalue를 \(f_s\)한테 뺏긴 상태이므로 nilpotent가 될 수밖에 없습니다!

 이제 우리는 (iv)를 증명하기 위해서 \(n_{\lambda}\)를 \(\lambda\)의 multiplicity라고 합시다. 그러니까 \(f\)의 characteristic polynomial이 \(\lambda\)에서 \(n_{\lambda}\)개의 중근을 가진다고 합시다. 우리는 이제 $$P_{\lambda}(t):=(t-\lambda)^{n_{\lambda}}$$라고 합시다! 이것은 중요한데 바로 \(\lambda\)에서 \(0\)이 되기 때문이죠! 우리는 이 성질을 이용해서 Chinese remainder theorem를 쓰도록 합시다. 그러니까 모든 계수가 \(K\)에 있는 적당한 \(Q(t)\)가 있어서 모든 \(\lambda\in I\)에 대해서 $$ Q(t)\equiv \lambda \pmod {P_{\lambda}(t)}$$라고 합시다! 이걸 이렇게 정의하는 이유는 \(Q(\lambda)=\lambda\)가 되고 그러므로 \(x\in V^{\lambda}\)일 때 $$ Q(\lambda)x=\lambda x$$가 되기 때문이죠! 이는 위에서 했던 \(f_s\)의 정의랑 완전히 똑같습니다. 그러므로 \(f_s\)와 \(f_n\)은 다항식일 수밖에 없습니다! 이제 유일성은 둘이 있다고 하고 서로 빼주면 되겠고요.

 우리는 이제 일반적인 경우를 증명해야 합니다. 이 때는 \(K\)를 늘려서 \(I\)가 \(K\)에 있게 하면 됩니다! 그러니까 다시 말하면 적당한 \(K\)의 Galois extension \(L\)이 있어서 \(I\subseteq L\)이 됩니다! 이제 우리는 \(V\)를 \(L\)의 vector space로 만들어주고 싶으므로 \(V\)를 \(V\otimes_{K}L\)로 바꿔줍시다! 그러면 우리는 $$ f':V\otimes_{K}L\to V\otimes_{K}L$$을 만들 수 있게 되겠지요!

 우리는 이제 앞에서 했던 증명으로 적당한 semisimple인 \(f'_s:V\otimes_{K}L\to V\otimes_{K}L\)과 nilpotent인 \(f'_{n}:V\otimes_{K}L\to V\otimes_{K}L\)이 있어서 $$ f'=f'_{s}+f'_{n}$$이고 \(f'_s\circ f'_n=f'_n\circ f'_s\)이겠지요! 그리고 유일하기까지 하겠고요.

 이제 \(f'\)를 \(V\otimes_{K}L\)에서 \(V\)로 떨어트려야 하는데 이를 위해서 \(f'\)를 \(A\)라는 행렬로 나타냅시다! 그리고 \(f'_s,f'_n\)은 각각 \(A_s,A_n\)으로요. 그러면 \(G=\text{Gal}(L/K)\)를 \(L/K\)의 Galois group이라고 하고 \(\sigma\in G\)라고 하면 우리는 $$ \sigma \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots & \ddots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots& a_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sigma a_{11} &\sigma a_{12} & \cdots & \sigma a_{1n} \\ \sigma a _{21} & \sigma a_{22} & \cdots & \sigma a_{2n} \\ \cdots &\cdots & \ddots & \cdots \\ \sigma a_{n1} & \sigma a_{n2} &\cdots& \sigma a_{nn}\end{pmatrix}$$라고 합시다! 그러면 \(f'\)의 원산지?는 원래 \(K\)이므로 모든 \(\sigma\in G\)에 대해서 \(\sigma A=A\)가 되겠고 덤으로 유일성을 이용하면 모든 \(\sigma\in G\)에 대해서 \(\sigma A_s=A_s\)와 \(\sigma A_n=A_n\)임을 알 수 있습니다! \(a\in L\)이 모든 \(\sigma\in G\)에 대해서 \(\sigma a=a\)라면 \(a\in K\)이고 그러므로 우리는 \(A_s,A_n\)의 모든 성분이 \(K\)에 있음을 알 수 있고 덤으로 떨어트리기에도 성공했습니다!

 이제 남은 건 다항식인데 이것은 바로 앞에서 했던 것처럼 모든 \(\sigma\in G\)에 대해서 그대로임을 보이면 됩니다. 이는 유일성으로 쉽게 증명할 수 있고요!

 우리는 이제 \(f=f_s+f_n\)이라고 하는 걸 Jordan decomposition이라고 부릅시다!

 Exercises 1. 우리는 \(\text{End}(V)\). 그러니까 \(V\)에서 \(V\)로 가는 모든 linear transform의 모임을 생각하자. 그리고 \(f,g\in \text{End}(V)\)라고 할 때 $$ [f,g]:=f\circ g-g\circ f$$라고 하고 $$ \text{ad}_{g}(f):=[f,g]$$라고 하자. 그러면 \(f=f_s+f_n\)이 Jordan decomposition일 때 $$ \text{ad}_{g}(f)=\text{ad}_{g}(f_s)+\text{ad}_{g}(f_n)$$도 Jordan decomposition임을 증명하여라