p-adic numbers 2:: p-adic number의 계산

 이제 우리는 Theorem 1.4가지고 p-adic number가 진짜로「무한 자리수」라는 개념을 가지고 있음을 확인했습니다. 그런데 이거는 \(|a|_p\le 1\)일 때 한정인데 우리는 이것을 쉽게 늘릴 수 있습니다! 바로 \(|a|_p>1\)이어도 \(\left|\frac{a}{p^k}\right|\le 1\)가 되도록 \(k\)를 잡아주면 됩니다. 그러면 모든 \(\Bbb{Q}_p\)의 원소는 \(0\le a_i<p\)일 때 $$ \sum^{\infty}_{i=k}a_i p^i$$꼴로 표현할 수 있습니다! 이제 다음을 정의합시다.

 Definition 1.6. (a) \(\Bbb{Q}_p\)에서 \(|x|_p\le 1\)인 \(x\)를 p-adic integer이라고 하고 p-adic integer들의 집합을 \(\Bbb{Z}_p\)라고 하자.

 (b) \(a,b\in \Bbb{Q}_p\)가 \(|a-b|_p\le p^{-k}\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(a\equiv b \pmod{p^k}\)라고 하자.

 (a)는 진짜 이게 성립하면 정수의 성질하고 비슷한 성질을 가지게 됩니다. 일단 \(|x|_p\ne 1\)인 \(x\)가 p-adic integer인데 \(x^{-1}\)이 p-adic integer이 아닌 것도 똑같고먼저 소숫점 아래가 없습니다! 이거만으로 중요한 성질을 가지게 되는데 나중에 알아볼 테지만 \(\Bbb{Z}_p\)는 이걸로 compact가 됩니다! (b)는 간단히 직접 숫자를 써주면 왜 이렇게 표기하는 지 알 수 있을 테고요. 이제 우리는 p-adic number들의 간단한 계산에 대해서 알아 볼 것입니다. 먼저 우리는 p-adic number의 덧셈과 곱셈과 나눗셈을 우리가 초등학교 저학년 때 배웠던 방식으로 계산해 볼텐데 간단히 이러면 됩니다. 2-adic의 경우는 $$ \;\;\;\;\cdots 101010010111010$$ $$ +\cdots 101010001110101$$ $$ =\cdots 010100100101111$$ 그냥 각각 더해주면 끝입니다. 곱셈도 비슷하게 $$ \;\;\;\;\cdots 110010100101101$$ $$\times \cdots 100110100111010$$ $$=\cdots 100001001110010$$이라고 해주면 되죠. 이제 우리는 나눗셈도 할 수 있게 되는데 이거는 여러분에게 맡깁니다. 나눗셈을 어떻게 해야 할 지 감이 안와요 ㅠ 이건 계산기 돌리기도 안되고. 저는 초등학교 2학년때 \(9+4\)도 제대로 계산을 못했던 지라 여러분에게 맡깁니다.

 이제 우리는 이렇게 생각할 수 있습니다.「\(\Bbb{Q}\)에서 \(x^2=2\)의 해가 없어서 실수라는 개념이 탄생하기 시작했는데 그러면 \(\Bbb{Q}_p\)는 어떨까?」우리의 \(\Bbb{Q}_p\)도 \(\Bbb{R}\)과 똑같이 \(\Bbb{Q}\)를 포함하고 있고 똑같이 complete입니다. 그러면 모든 자연수 \(n\)에 대해서 우리는 \(x^2=n\)의 해가 모든 소수 \(p\)에 대해서 \(\Bbb{Q}_p\)에서 있을 것 같은 기분이 듭니다. 실수가 뒤에서 쫙 늘린 거라면 p-adic number은 앞에서 쫙 늘린 거니까요. 우리의 p-adic numbers는 해낼 수 있을 거란 기분이 듭니다. 이렇게 해서 우리는 \(\Bbb{Q}_5\)에서 \(\sqrt{6}\)이 존재하는지, 존재하면 얼마인지 구해봅시다.

 먼저 우리는 존재한다고 해보고 다음이라고 해봅시다. $$ \left(\sum^{\infty}_{i=0}a_i p^i\right)^2=6$$ 여기에서 \(0\le a_i<5\)입니다. 그러면 괄호 안을 \(x\)라고 하고 그대로 전개해주면 우리는 첫번째 관문인 $$ a_0^2\equiv 1 \pmod 5$$를 만족하는 \(a_0\)을 찾으라는 문제가 나옵니다. 이는 간단합니다. \(a_0=1\)이라고 해주면 되니까요. \(a_0=4\)도 있지만 우리는 첫번째인 \(a_0=1\)로 택합시다. 이제 두 번째 계산을 해야 하는데 이는 \(2a_1\times 5\equiv 5 \pmod {5^2}\)가 되고 그러므로 \(a_1=3\)이 됩니다! 그리고 이거는 첫번째와는 다르게 유일하기까지 하죠. 이제 세번째를 계산하는데 이는 더 간단하게 \(a_2=0\)임을 알 수 있고 이렇게 쭉 계산하다보면 이게 나올 것입니다. $$ x=1+3\times 5+0\times 5^2+4\times 5^3+\cdots=\cdots 4031$$ 그리고 \(a_0\) 이후로 모두 유일함을 알 수 있지요! 우리가 방금 전에에 구했던 또 하나의 나\(a_0=4\)로도 똑같이 하면 \(a_0\) 뒤가 모두 유일하게 나옵니다!

 이렇게 우리는 \(\Bbb{Q}_5\)에서 \(\sqrt{6}\)이 존재함과 동시에 두 가지 값이 나올 수 있고 게다가 정확히 구할 수 있는 방법도 알아냈습니다! 이대로만 하면 모든 제곱근을 구할 수 있을 것 같습니다. 실제로 우리는 \(6\)을 \(7\)로 바꿔서 해볼까요. 여기에서 우리는 5-adic에서 \(7\)의 맨 뒷자리가 \(2\)여서 뭔가 계산결과가 이상해질 것 같지만 뭔진 잘 모르겠고 직접 해보도록 합시다.

 우리는 똑같이 $$ \left(\sum^{\infty}_{i=0}a_ip^i\right)^2=7$$라고 해봅시다. 여기에서 당연히 \(0\le a_i<5\)고요. 그러면 우리는 \(a_0^2\equiv 2 \pmod 5\)임을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 이걸 만족하는 정수 \(a_0\)을 찾으면 되는데 \(a_0=1\)일 때는 \(1\)이 나오고 \(a_0=2\)일 때는 \(4\)가 나오고 \(a_0=3\)일 때고 \(4\)가 나오고 \(a_0=4\)일 때는 \(1\)이 나옵니다. i.e. \(a_0^2\equiv 2 \pmod 5\)를 만족하는 \(a_0\)따위 없습니다... 응? 아니, 없다니! 이건 말도 안되!내가 너무 두려워서 뒤로 늘려진 그 하등한 \(\Bbb{R}\)도 \(\sqrt{7}\)이 존재하는데 하지만 이것이 그나마 \(\Bbb{Q}_p\)의 안습함을 달래줄 수 있을 것입니다.

 Theorem 1.7. (Hensel's Lemma) \(F(x)\)를 모든 계수가 p-adic integer인 다항식이라고 하자. 그리고 \(F^{\prime}(x)\)을 \(F\)의 형식 도함수 (i.e. $$ F(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0$$이면 $$ F^{\prime}(x):=nc_nx^{n-1}+(n-1)c_{n-1}x^{n-2}+\cdots+c_1$$)라고 할 때 정수 \(a_0\)이 \(F(a_0)\equiv 0\pmod p\)를 만족하고 \(F(a_0)\not\equiv 0\pmod p\)일 때 p-adic integer \(a\)가 유일하게 있어서 \(a\equiv a_0 \pmod p\)이고 $$ F(a)\equiv 0 \pmod p$$이다.

 \(\Bbb{R}\)아 너 이거 없지? 그렇지? 히히히여기에서 \(F(x)=x^2-6\)이라고 하면 우리는 위에서 했던 것을 손쉽게 알 수 있게 됩니다! 이건 모든 다항식에 적용되는 간단 판정법이라고 할 수 있는데 한 번 증명해봅시다!

 Proof of Theorem 1.7) 우리는 한 번 이걸 봅시다.

 Claim. \(n\ge 0\)일 때 다음의 유일한 rational sequence \(\{a_i\}\)가 존재한다.

 (i) \(F(a_n)\equiv 0 \pmod{p^{n+1}}\)

 (ii) \(a_n\equiv a_{n+1} \pmod{p^n}\)

 (iii) \(0\le a_n<p^{n+1}\)

 우리는 여기에서 \(n\)에 대해서 induction을 쓸 텐데 \(n=0\)인 경우에는 (i)하고 (iii)은 Hensel's Lemma의 조건으로 주어집니다. 우리는 이걸 만족하는 수를 편하게 \(a_0\)이라고 합시다. (제가 참고하고 있는 책에는 \(\tilde{a_0}\)이라고 쓰고 있지만 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\)에서 같은 수여서 상관 없습니다.)이제 \(n=1\)일 때를 확인할 텐데 우리는 (ii)를 성립하게 해야 합니다. 이거는 우리는 \(a_1\)을 결정하는 데 \(a_1=a_0+b_1p\)라고 하면 됩니다. 그러면 우리는 이걸 \(b_1\)을 결정하라는 문제로 바꿀 수 있고 결정하는 데 그냥 대입해주면 됩니다. 대입해주면 $$ \begin{align} F(a_1)&=F(a_0+b_1p) \\ &=\sum c_i(a_0+b_1p)^i \\ & \equiv \sum c_i a_0^i+\left(\sum ic_ia^{i-1}_0\right)b_1p \\ &\equiv F(a_0)+F^{\prime}(a_0)b_1p \pmod{p^2}\end{align}$$가 됩니다. 이제 \(F(a_0)\equiv 0\pmod{p}\)으로 \(\alpha\in \Bbb{Z}\)가 있어서 \(F(a_0)\equiv \alpha p\pmod{p^2}\)임을 알 수 있고 그러므로 $$ F(a_1)=\alpha p+F^{\prime}(a_0)b_1\pmod{p^2}$$입니다! 우리가 원하는 건 좌변이 0이 되는 것인데 이는 간단히 \(b_1\equiv -\frac{\alpha}{F^{\prime}(a_0)} \pmod{p}\)라고 해주면 됩니다! 그러면 $$ F(a_1)=\alpha p+F^{\prime}(a_0)b_1p\equiv p(\alpha-\alpha)\equiv 0 \pmod{p^2}$$이 됩니다. 이제 우리는 이거하고 똑같이 \(a_2,a_3,\cdots\)를 만들 수 있고 Claim의 증명이 끝납니다! 이제 우리는 \(\{a_n\}\)에서 \(n\)을 무한대로 보내기만 하면 되죠. 유일성은 각각 논리가 진행될 때 모두 유일함을 덧붙혀주면 끝납니다. 아니면 (ii)하고 (iii)을 조합해도 되고.

 이렇게 해서 우리는 \(\Bbb{Q}_p\)가 algebraic closed가 아니라는 걸 알게 되었고 다항식마다 해가 있는지 어느정도 판단할 수 있는 Hensel's Lemma도 알아봤습니다. 여기에서 우리는 \(\Bbb{Q}_p\)의 원소들을 계수로 하는 다항식이 무조건 해를 갖게 하는 가장 작은 집합이 있음을 알 수 있는데 이를 \(\overline{\Bbb{Q}}_p\)라고 하고 이거의 completion을 \(\Bbb{C}_p\)라고 합시다. 그리고 우리는 여기에서 전개하는 이론이 있음을 알 수 있는데 이 이론을 여기에서 설명할 수 있을 지 모르겠네요. (나가는 게 복소해석이랑 아주 비슷합니다. 진짜 p-adic complex analysis라고 해도 될 정도)먼저 \(\Bbb{Q}_p\)의 analytic property하고 class field theory를 나간 다음에 설명할 수 있을 것 같은데요.

 Exercises 1. \(x^2=-1\)의 해를 \(\Bbb{Q}_5\)에서 3자리까지 구해라.

 2. (Teichmüller representatives) \(x^p-x=0\)은 \(\Bbb{Q}_p\)에서 언제나 \(p\)개의 해를 가짐을 증명하여라. 우리는 이 해들을 Teichmüller representatives of \(\{0,1,\cdots,p-1\}\)이라고 하자.

 3. \(\Bbb{Q}_p\)에서 \(\cdots 11111111111=1+p+p^2+p^3+\cdots=\frac{1}{1-p}\)임을 증명하여라

 4. \(\Bbb{Z}_p\)는 sequentially compact임을 증명하여라 i.e. \(\Bbb{Z}_p\)의 모든 sequence는 수렴하는 subsequence를 가짐을 증명하여라 (Hint는 먼저 어떤 수열의 첫번째 자릿수를 생각해주세요. 그리고 무한 번 반복되는 첫번째 자릿수로 두번째 자릿수도 생각해주시고.)

 5. \(x\in \Bbb{Q}_p\)가 주기를 가진다는 거랑 (i.e. 적당한 자연수 \(q\)와 적당히 큰 자연수 \(N\)이 있어서 \(i>N\)이면 \(x=\cdots a_9a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1.a_{-1}\cdots a_{-k}\)라고 한다면 \(a_{i+q}=a_i\)인 거)\(x\in \Bbb{Q}\)라는 거랑 동치임을 증명하여라

 6. Hensel's Lemma의 증명과정을 이용해서 p-adic numbers의 바빌로니아 방법을 만들어라. 이를 이용하면 Exercises 1을 쉽게 풀 수 있다.

 7. 6.을 모든 다항식으로 일반화시켜라.

 1. N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, Springer

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