이제 우리는 다음을 정의하도록 합시다.
Definition 1.1. \(x\)를 0이 아닌 유리수라고 하자. 그러면 \(p\)가 소수일 때 \(a,b\)가 p로 나누어지지 않는 정수이고 \(e\)가 정수일 때 \(x=p^e\frac{b}{a}\)꼴로 표현할 수 있으면 $$ |x|_p:=p^{-e}$$하고 하자. 그리고 $$ |0|_p:=0$$이라고 하자.
참고로 우리는 여기에서 한 가지 중요한 사실을 알 수 있습니다. 바로 a와 b가 유리수일 때 $$ |a+b|_p\le \max\{|a|_p,|b|_p\}$$라는 사실 말이예요. 이 사실은 매우 중요한데 이 성질 하나 때문에 실수 집합이랑 p-adic numbers랑 성질이 확 틀어집니다! 머저 소개에서 설명했던 수렴성도 바로 이거 하나때문에 생겨나는 거고요. 그런데 우리는 여기에서 왜 이게 p-adic numbers랑 관련이 있는지 확인해야 합니다.
이제 우리는 이것이 absolute value로 우리는 completion이라는 걸 생각할 수 있습니다. 이제 우리는 다음을 정의합시다.
Definition 1.2. 모든 항이 유리수인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해서 적당한 \(N=N(\varepsilon)\)이 있어서 모든 \(m,n>N\)에 대해서 $$ |a_m-a_n|_p<\varepsilon$$을 만족하면 \(\{a_n\}\)을 Cauchy sequence라고 하자.
이제 다음을 정의합시다.
Definition 1.3. \(\{a_n\}\)하고 \(\{b_n\}\)이 Cauchy sequence이고 $$ \lim_{n\to \infty}|a_n-b_n|_p=0$$이라고 하자. 그러면 우리는 \(\{a_n\}\sim \{b_n\}\)라고 하고 이것은 equivalence relation이 된다. 이제 이것의 equivalence class들의 모든 집합을 \(\Bbb{Q}_p\)라고 하자.
여기에서 우리는 \(q\)가 유리수일 때 \(\{q\}\)라는 상수수열을 생각할 수 있고 그 상수수열을 유리수라고 보면 우리는 \(\Bbb{Q}_p\)가 유리수를 포함함을 알 수 있습니다. 하지만 우리는 찝찝함을 버릴 수가 없는데 우리가 저번에「자릿수를 무한히 늘린다」라는 개념으로 \(\Bbb{Q}_p\)를 생각했는데 이렇게 정의한 \(\Bbb{Q}_p\)는 그냥 봐서는 이거하고는 좀 거리가 먼 느낌이 납니다. 물론 어떤 한 equivalence class를 \(a\)라고 하고 그거의 Cauchy sequence를 \(a_n\)이라고 하면 $$|a|_p:=\lim_{n\to \infty}|a_n|_p$$라고 정의하면 되고 그 외에도 여러가지를 자연스럽게 \(\Bbb{Q}_p\)로 옮길 수 있지만 우리가 생각했던「무한 자릿수」는 잘 안나올 것 같습니다. 그래서 우리는 다음을 증명하도록 합시다.
Theorem 1.4. \(\Bbb{Q}_p\)의 원소 \(a\)가 \(|a|_p\le 1\)을 만족시킨다. 그러면 \(a\)의 딱 하나의 Cauchy sequence가 있어서 다음을 만족시킨다.
(i) \(0\le a_i<p^i\ \text{ for }i=1,2,3,\cdots\)
(ii) \(a_i\equiv a_{i+1} \pmod p^i \text{ for }i=1,2,3,\cdots\)
이걸 증명할 수 있다면 우리는 저 sequence를 이용해서 \(i\ge 0\)일 때 $$a^{\prime}_i:=(a_{i+1}-a_i)p^{-i}$$라고 정의한다면 \(\{a^{\prime}_i\}\)의 항은 모두 정수가 되고 \(0\le a^{\prime}_i<p\) for all i가 되며 우리는 \(a\)를 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $$ a=a^{\prime}_0+a^{\prime}_1p+a^{\prime}_2p^2+a^{\prime}_3p^3+\cdots$$ 이거 어디에서 많이 보지 않았나요? 이걸 좀 더 알기 쉽게 하자면 $$ a=\cdots a^{\prime}_9a^{\prime}_8a^{\prime}_7a^{\prime}_6a^{\prime}_5a^{\prime}_4a^{\prime}_3a^{\prime}_2a^{\prime}_1a^{\prime}_0$$입니다. 이것은 바로 우리가 생각하던「무한 자릿수」입니다! i.e. 이것을 증명하면 우리는 무한 자릿수를 다시 생각할 수 있는 권리를 얻게 됩니다!
이거 증명을「n이 2 이상의 자연수일 때 모든 자연수는 n진법으로 나타낼 수 있다」비슷하게 하게 되는데 한 번 봅시다!
Proof of Theorem 1.4) 먼저 유일성을 증명합시다. 저게 유일하지 않다고 생각하면 (i)과 (ii)를 모두 만족하는 \(\{a_n\}\)하고 \(\{b_n\}\)이 있어서 적당한 자연수 \(i\)가 있어서 \(a_i\ne b_i\)이면서 서로 빼버리면 $$ |a_i-b_i|_p\ge p^{-i-1}$$이 만들어지므로 모순임을 알 수 있습니다. (간단히 자릿수를 생각해주세요.)
이제 우리는 다음을 증명합시다.
Lemma 1.5. 모든 자연수 n에 대해서 \(x\)가 유리수이고 \(|x|_p\le 1\)일 때 적당한 \(\alpha\in \Bbb{Z}\)가 있어서 $$ |\alpha-x|_p\le p^{-n}$$이다. 여기에서 \(\alpha\)는 \(0,1,2,\cdots,p^n-1\)들 중 하나이다.
이것은 간단히 말하자면 자연수 \(k\)의 앞자리를 제외한 나머지 뒷자리가 존재한다는 정리로 비유하면 될까요. 실제로 증명법도 어느정도 비슷합니다.
Proof of Lemma 1.5) 우리는 먼저 \(x=\frac{b}{a}\)라고 합시다. 이제 \(|x|_p\le 1\)로부터 \(p\)는 \(a\)를 나눌 수 없음을 알 수 있고 이걸로 좀 정리하자면 $$ \begin{align} |\alpha-x|_p&=\left|\alpha-\frac{b}{a}\right|_p \\ &=|a\alpha-b|_p\end{align}$$가 됩니다. 이제 우리는 \(\alpha\)를 선택할텐데 우리는 직접 \(b\)의 p진법 전개를 이용합시다. 그러면 b의 뒤에 있는 n자리만 지우면 끝인데 이는 \(a\)가 \(p\)로 나누어지지 않으므로 \(\alpha\in \{0,1,\cdots,p-1\}\)일 때 \(\alpha\)가 1씩 늘어날 때마다 \(a\alpha\)의 p진법 전개의 끝자리는 각각 다른 숫자가 되고 (이해가 안가겠으면 간단히 $$ 7\times 1=7$$ $$ 7\times 2=14$$ $$7\times 3=21$$에서 끝자리가 어떻게 바뀌는지만 확인해주면 됩니다. 그리고 이거 증명도 쉽죠. \(\!\!\!\!\mod p\)에서 \(\{a\alpha\}\)는 \(\{0,1,\cdots,p-1\}\)이 됩니다.)그러므로 \(b\)의 끝자리에 맞춰질 때 우리는 \(n=1\)일 때 증명을 끝낼 수 있습니다! 이제 \(\!\!\!\!\mod p^n\)에서 \(\{a\alpha\}\)는 \(\{0,1,\cdots,p^n-1\}\)이 되므로 증명이 끝납니다!
이제 다 끝났는데 우리는 \(k\)가 자연수라고 하고 \(\varepsilon>0\)이고 \(a\)의 Cauchy sequence \(\{b_n\}\)을 잡읍시다. 그러면 우리는 Lemma 1.5로 \(\{a_{m,n}\)이 있어서 $$ |b_n-a_{m,n}|\le p^{k}$$입니다! 이제 우리는 \(i,i^{\prime}>N\)일 때 $$ |b_{i}-b_{i^{\prime}}|_p<\varepsilon<\frac{1}{p^k}$$이라고 합시다. 그러면 $$ \begin{align}|a_{m,i}-a_{m,i^{\prime}}|_p&=|a_{m,i}-b_{i}+b_{i}-b_{i^{\prime}}+b_{i^{\prime}}-a_{m,i^{\prime}}|_p \\ &\le\max\{|a_{m,i}-b_{i}|,|b_{i}-b_{i^{\prime}}|,|b_{i^{\prime}}-a_{m,i^{\prime}}|\}\\ &\le \max\{p^{-k},\varepsilon,p^{-k}\}\\ &\le p^{-k}\end{align}$$이고 \(i^{\prime}=i+1\)이라고 하면 Theorem 1.5의 (ii)가 유도되고 (i)은 Lemma 1.5에서 주어지고 이제 \(k\)를 무한대로 보내면 끝나죠!
다음에는 간단한 p-adic number들의 계산을 보도록 할까요.
Exercises 1. \(\sim\)은 equivalence relation임을 증명하여라
2. 다음을 증명하여라. 여기에서 모든 수열은 유리수 수열이고 Cauchy sequence라고 생각한다.
(i) \(\{a_n\}\sim \{a^{\prime}_n\}\)이고 \(\{b_n\}\sim \{b^{\prime}_n\}\)이면 $$ \{a_nb_n\}\sim \{a^{\prime}_nb^{\prime}_n\}$$이다.
(ii) $$ \{a_n(b_n+c_n)\}\sim \{a_nb_n+a_nc_n\}$$
(iii) \(\{a_n\}\sim \{a^{\prime}\}\)이면 $$ \{1/a_n\}\sim \{1/a_n^{\prime}\}$$
3. \(\Bbb{Q}_p\)에서 \(\sum a_n\)이 수렴할 필요충분조건이 \(\lim_{n\to \infty}a_n=0\)임을 증명하여라
4. 유리수 \(x\)가 모든 소수 \(p\)에 대해서 \(|x|_p\le 1\)이다. 그러면 \(x\)는 정수임을 증명하여라.
1. N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, Springer
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